Algoritmo de Reconstrução por Projeção - Backprojection

Para se obter uma imagem por TIE, $N$ eletrodos igualmente espaçados são distribuídos na superfície de uma secção transversal do tórax e correntes de 1 miliampere são aplicadas sucessivamente em pares adjacentes de eletrodos. Cada par de eletrodos será representado no modelo matemático como um dipolo elétrico, isto significa que o eletrodo de injeção e o eletrodo de saída da corrente devem estar próximos.

Na Figura 1 a secção transversal do tórax está representada por um domínio circular, $e_i$, $i = 1, \cdots, 8$ são os eletrodos e $d$ é o dipolo definido pelo par de injeção de corrente $e_i$, $e_j$. As equipotenciais do modelo do dipolo para o meio homogêneo estão representadas pelas curvas verdes (equipotenciais da corrente) e azuis (equipotenciais das voltagens).

Por hipótese, os eletrodos que definem o par de injeção devem estar próximos. Isto significa que o padrão adjacente - corrente positiva no eletrodo $e_i$ e negativa no eletrodo $e_{i+1}$ - é o que melhor representa o dipolo. Entretanto, no programa que simula a bancada, há a possibilidade de escolhermos o padrão de injeção entre quaisquer dois eletrodos $e_i$ e $e_j$.

Neste trabalho, as imagens reconstruídas a partir de medidas de bancada utilizaram a configuração adjacente ($e_i$, $e_{i+1}$) com $32$ eletrodos para as simulações referentes ao primeiro semestre e a configuração $e_i$, $e_{i+2}$ com $30$ eletrodos para as simulações do segundo semestre. Esta alteração na configuração do padrão de injeção foi definida em função da relação ruído/sinal que melhorou significativamente para a segunda configuração.

Uma vez injetada a corrente em um par de eletrodos, as voltagens são medidas em todos os eletrodos. Com isso, um conjunto completo de medidas, que será usado na reconstrução de uma única imagem, é obtido após a injeção de corrente em todos os pares possíveis de eletrodos.

A imagem final que representa a distribuição da impedância no interior do tórax é calculada através da contribuição de cada conjunto de medidas obtido percorrendo todos os pares de eletrodos, ou seja, uma média entre $N$ imagens, adicionados os valores interpolados na fronteira. Para o monitoramento contínuo de pacientes é necessário construir 24 imagens completas a cada segundo. Portanto, é de extrema importância a análise proposta neste trabalho de identificação de ponderações que recuperem informações, principalmente das regiões centrais da imagem.

Seja $x$ um ponto do domínio e a equipotencial de voltagem que passa por $d$ e $x$ e atinge a fronteira em $x_b$, como mostra a Figura 1.

Figura: Projeção de linhas equipotenciais do dipolo elétrico.

O valor da voltagem de cada ponto $x_{b}$ não coincidente com a posição de um eletrodo é determinado através de interpolação por splines cúbicos, a partir dos dados de voltagens medidos na fronteira [4]. Este valor de $x_b$ é projetado sobre a equipotencial definida pelo dipolo $d$ e ponderado por uma função $\Phi(x, \omega)$, que, no algoritmo clássico utilizado em tomografia computadorizada [2] depende da distância do ponto $x$ e do dipolo $d$.

Na Figura 2 é mostrada a função peso do algoritmo de projeção clássico [2]. Ao observarmos essa função, podemos notar uma singularidade na posição do dipolo, onde a função tende para o infinito e, seu rápido decaimento para zero, à medida que o ponto se afasta do dipolo. Com isso, fica evidente que essa função peso penaliza a região central da imagem.

Figura: Superfície da função peso $\Phi(x, \omega)$