Problema extraído de 'O Homem que Calculava', de Malba Tahan e aqui apresentado com formulação própria.
Tendo-se 9 pérolas de aparência exatamente igual, e uma balança de pratos de grande precisão, e sabendo-se que uma das pérolas é falsificada (e ligeiramente mais leve), como descobrir qual a pedra falsificada realizando, no máximo, duas pesagens?
Solução: Põe-se três pérolas quaisquer num prato da balança e outras três no outro e faz-se a primeira pesagem, que determina em qual grupo de três pérolas está a falsa: se houver diferença na pesagem, a pérola falsa está no grupo mais leve (aquele no prato que sobe). Caso os pratos permaneçam equilibrados, a pérola falsa está no grupo deixado de fora. Determinado o grupo que contém a pedra falsa, escolhe-se duas pérolas quaisquer deste grupo e pesa-se uma contra a outra. Novamente, se houver desequilíbrio é falsa a mais leve; senão é falsa a deixada de lado.
Problema proposto por Minoru Matsuda, professor japonês de Go, em sua passagem pelo Brasil. Foi-me reapresentado este ano pelo advogado e colega na licenciatura em matemática Amaury (cujo enunciado usava moedas em vez de pérolas).
Tendo-se 12 pérolas de aparência exatamente igual e uma balança de pratos de grande precisão, e sabendo-se que 11 das pérolas têm exatamente o mesmo peso (com a remanescente podendo pesar mais ou menos que as demais), como descobrir qual a pedra diferente realizando, no máximo, três pesagens?
Comentário inicial: o fato de não se saber se a pérola diferente é mais leve ou mais pesada que as demais introduz grande dificuldade adicional ao problema e a solução deve, portanto, ser bem mais sofisticada que a do problema anterior.
Solução: Põe-se quatro pérolas quaisquer num prato da balança e outras quatro no outro e faz-se a primeira pesagem. O caso mais simples é se houver igualdade na primeira pesagem - então a pérola diferente está entre as quatro deixadas de fora da pesagem inicial. Escolhe-se então três destas, as quais são pesadas contra três quaisquer entre as utilizadas na primeira pesagem. Caso haja nova igualdade, o problema está resolvido: é diferente a pérola-suspeita deixada de fora da pesagem (pode-se até dar-se ao luxo de usar a pesagem que sobrou para determinar se ela é mais leve ou mais pesada que as demais). Em caso contrário, será sabido que a pérola está entre as três suspeitas usadas na segunda pesagem e se ela é mais leve (caso seu prato tenha subido) ou pesada. Procede-se então como na segunda pesagem do problema anterior. Vamos então à hipótese mais difícil: há diferença na primeira pesagem. Sabe-se então que a pérola diferente está entre as oito comparadas mas, novamente - nunca é demais enfatizar - não se sabe se ela é mais leve ou pesada que as demais. Chamemos de suspeitas-leves as quatro pérolas do prato mais leve e, equivalentemente, de suspeitas-pesadas as demais. É então na segunda pesagem que está a sutileza da solução: põe-se duas suspeitas-leves e uma suspeita-pesada num prato e as outras duas suspeitas-leves e uma pedra que ficou de fora da primeira pesagem no outro. Se nesta segunda pesagem houver igualdade, a pérola diferente está entre as três suspeitas-pesadas deixadas de fora da segunda pesagem e procede-se então como no problema anterior. Caso o prato com a suspeita-pesada seja mais leve - então a pedra diferente é uma das suspeitas-leves neste prato e o modo de proceder com a última pesagem é trivial. Caso contrário, a pérola diferente ou é a suspeita-pesada neste prato, ou é uma das suspeitas-leves no outro. Pesa-se então uma destas suspeitas-leves contra a outra. Se houver desequilíbrio é diferente a mais leve das duas; senão é diferente a suspeita-pesada.