Splines Cúbicos

Uma outra maneira de aproximar um conjunto de dados por um polinômio é através de um spline, que constrói uma curva suave entre dois pontos tabelados, inclusive próximo dos extremos.

As idéias que estão por trás desse tipo de aproximação envolvem basicamente duas propriedades da curva aproximadora:

1. Trabalhar com curvas aproximadas que são polinômios de graus não muito altos e por isso a escolha do spline cúbico que utiliza polinômios de grau 3;
2. Obter uma curva aproximadora que seja suave, inclusive nos nós(junções ente duas curvas de grau 3).

Dados n+1 pontos tabelados, n intervalos ficam definidos. Para cada intervalo será construído um polinômio de grau três, denominado:

$$P \raisebox {-.6ex} {\em i} = a\raisebox{-.6ex} {\em i} (x - ... ...ox{-.6ex} {\em i}) + d\raisebox{-.6ex} {\em i}, i=0,...,n-1 (A)$$

Para garantirmos uma colagem suave nas junções entre dois subintervalos , algumas condições devem ser seguidas pelos P $\raisebox{-.6ex} {\em i}$

1. P $\raisebox{-.6ex} {\em i}$(x $\raisebox{-.6ex} {\em i+1}$) = P $\raisebox{-.6ex} {\em i+1}$(x $\raisebox{-.6ex} {\em i+1}$), i=1,...,n-1
2. P $\raisebox{.6ex} {\em '}\raisebox{-.6ex} {\em i}$(x $\raisebox{-.6ex} {\em i+1}$) = P $\raisebox{.6ex} {\em '}\raisebox{-.6ex} {\em i+1}$(x $\raisebox{-.6ex} {\em i+1}$), i=1,...,n-1
3. P $\raisebox{.6ex} {\em ''}\raisebox{-.6ex} {\em i}$(x $\raisebox{-.6ex} {\em i+1}$) = P $\raisebox{.6ex} {\em ''}\raisebox{-.6ex} {\em i+1}$(x $\raisebox{-.6ex} {\em i+1}$), i=1,...,n-1

Para cada P $\raisebox{-.6ex} {\em i}$ é preciso determinar seus quatro coeficientes a $\raisebox{-.6ex} {\em i}$, b $\raisebox{-.6ex} {\em i}$, c $\raisebox{-.6ex} {\em i}$ e d $\raisebox{-.6ex} {\em i}$. Com a condição (A) mais esses três itens sobre os polinômios P i (x), i=0,...,n-1, obtemos um sistema linear de n equações com n+2 incógnitas.

Devido à falta de equações para determinar as condições de P $\raisebox{-.6ex} {\em0}$ e P $\raisebox{-.6ex} {\em n}$ nos extremos, temos que fixar duas das incógnitas. A maneira de fixar implica uma determinada forma de spline.