Interpoladores na Forma de Newton

Considere o Polinômio de grau n-1:

Dados n+1 pontos (xk,f(k)), k = 0,...,n, distintos 2 a 2, o polinômio de grau n

$$P \raisebox {-.6ex} {\em n} = a\raisebox{-.6ex} {\em0} + a\ra... ... (x-x\raisebox{-.6ex} {\em0})...(x-x\raisebox{-.6ex} {\em n-1})$$

é o polinômio interpolador na forma de Newton se

$$P \raisebox {-.6ex} {\em n} (x\raisebox{-.6ex} {\em k}) = f(x\raisebox{-.6ex} {\em k}), k = 0,...,n$$

Os coeficientes ak podem ser obtidos a partir dessas igualdades:

$$P \raisebox {-.6ex} {\em n} (x\raisebox{-.6ex} {\em0}) = a\raisebox{-.6ex} {\em0}$$

$$a\raisebox{-.6ex} {\em0} = f(x\raisebox{-.6ex} {\em0})$$

$$P \raisebox {-.6ex} {\em n} (x\raisebox{-.6ex} {\em 1}) = a\r... ...x} {\em 1} (x\raisebox{-.6ex} {\em 1}-x\raisebox{-.6ex} {\em0})$$

$$a\raisebox{-.6ex} {\em 1} = \frac{f(x\raisebox{-.6ex} {\em 1}... ...} {\em0})} {x\raisebox{-.6ex} {\em 1}-x\raisebox{-.6ex} {\em0}}$$

e

$$f[x\raisebox{-.6ex} {\em k}, x\raisebox{-.6ex} {\em j}] = \fr... ...\em k}] } {x\raisebox{-.6ex} {\em j}-x\raisebox{-.6ex} {\em k}}$$

denomina-se diferença dividida de primeira ordem, e introduzindo essa definição nas fórmulas acima, podemos obter os ak's apenas com manipulações algébricas de xk's e f(xk)'s.

se nós escolhermos a $\raisebox{-.6ex} {\em i}$ tal que todas as coordenadas f $\raisebox{-.6ex} {\em i}$ dos n+1 pontos sejam iguais a P(x $\raisebox{-.6ex} {\em i}$ ), chegaremos à conclusão de que os a $\raisebox{-.6ex} {\em i}$ serão determinados pelo que chamaremos de diferenças divididas.

Como veremos nas simulações o principal problema dos polinômios interpoladores nas Formas de Newton e Lagrange é o erro que aumenta significativamente próximo dos extremos. Estamos considerando o erro definido por:

$$E \raisebox{-.6ex} {\em A} (x\raisebox{-.6ex} {\em i}) = f ( x \raisebox{-.6ex} {\em i} ) - p (x \raisebox{-.6ex} {\em i})$$

que é o erro absoluto em si.