Restrições para os elementos da matriz de tranformação $T$

É possível determinar um intervalo de valores para os elementos da matriz $E$ que compõe a matriz $T$ a partir das restrições físicas de valores existentes para as matrizes $F$ ou $R$. Cada elemento da matriz $F$ deve possuir valor entre 0 e 1 e cada elemento da matriz R deve possuir valor entre 0 e 255.

Podemos calcular a matriz $F$ da seguinte maneira:

$$F = TF_{a} = EAF_{a}$$ (16)

Dessa maneira, podemos representar cada elemento de $F$ como sendo:

$$\mathbf{f_{ij}} = \mathbf{(f_{a})_{1j}}*e_{i}*cos(x_i)*cos(y_i)+ \mathbf{(f_{a})_{2j}}*e_{i}*cos(x_i)*sen(y_i)-\mathbf{(f_{a})_{3j}}*e_{i}*sen(x_i)$$ (17)

onde $1 \leq i \leq nend$ e $1 \leq j \leq npix$.

Cada coluna de $F$ representa a proporção do componente puro em uma banda, então cada elemento deve ter valor entre 1 e zero e a soma dos valores da coluna deve ser igual a 1, então chegamos às seguintes restrições:

$$\sum_{j=1}^{3} \mathbf{f_{ij}} = 1$$ (18)

onde $1 \leq i \leq nend$, e

$$0 \leq \mathbf{f_{ij}} \leq 1$$ (19)

onde $1 \leq j \leq npix$.

Podemos usar qualquer algoritmo para resolver esse problema linear determinando os valores máximos e mínimos para a matriz de transformação $T$, através do qual determinamos os possíveis valores da matriz $E$.

Usando a função do MATLAB $T_{min}=linprog(W,M,N)$ que resolve o problema linear $min W_{T}T_{minmax}$ tal que $MT_{minmax} \leq N$ e $T_{minmax} \geq 0$, onde $M$, $N$, $W$ e $T$ são matrizes, através da seguinte definição:

$$MT_{minmax} \leq N \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc c... ...dots \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]$$ (20)

onde a matriz $M$ é uma composição da matriz $F_{a}$ e $-F_{a}$ com tamanho 3 x 2n, onde $n = npix$ e a matriz $N$ tem tamanho 1 x (npix+npix) e a matriz $W$ tem a seguinte definição:

$$W = \left[ \begin{array}{cc cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ ... ...& 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\right]$$ (21)

Dessa forma obtemos os valores máximos e mínimos da matriz de transformação $T$ que correspondem aos valores da matriz $T_{minmax}$, onde cada linha possui valores de máximo e mínimo relativos à cada coluna de valores da matriz $T$. O menor valor da linha de $T_{minmax}$ corresponde ao menor valor da coluna de $T$ relativa e o valor máximo da linha $T_{minmax}$ corresponde ao valor máximo valor da coluna de $T$ relativa. Então obtemos os seguintes vetores:

$$(T_{min})_{coluna} = \left[ \begin{array}{cc cc} (t_{min})_{1} & (t_{min})_{2} & (t_{min})_{3} \\ \end{array}\right]$$ (22)

$$(T_{max})_{coluna} = \left[ \begin{array}{cc cc} (t_{max})_{1} & (t_{max})_{2} & (t_{max})_{3} \\ \end{array}\right]$$ (23)

Onde o vetor $(T_{min})_{coluna}$ se refere aos valores mínimos de cada coluna da matriz $T$ e $(T_{max})_{coluna}$ se refere aos valores máximos.

Para calcular o valor $e_{i}$ da matriz $E$, primeiro determina-se seu intervalo de possíveis valores. Podemos representar $T$ da seguinte maneira:

$$T = \left[ \begin{array}{cc cc} e_{1}*cos(x_1)*cos(y_1) & e_... ...{3}*cos(x_3)*sen(y_3) & -e_{3}*sen(x_3) \\ \end{array}\right]$$ (24)

onde os ângulos $x_i$ e $y_i$ são determinados aleatoriamente.

Denominanos $e_{min}$ o vetor de valores mínimos para $e_{i}$ e $e_{max}$ o vetor de valores máximos para $e_{i}$. Calculamos $e_{min}$ e $e_{max}$ da seguinte maneira:

$$(e_{min})_{1} = \frac{(t_{min})_{1}}{cos(x_i)*cos(y_i)} , (e_{min... ...{min})_{2}}{cos(x_i)*sen(y_i)}, (e_{min})_{3} = \frac{(t_{min})_{3}}{-sen(x_i)}$$ (25)

$$(e_{max})_{1} = \frac{(t_{max})_{1}}{cos(x_i)*cos(y_i)} , (e_{max... ...{max})_{2}}{cos(x_i)*sen(y_i)}, (e_{max})_{3} = \frac{(t_{max})_{3}}{-sen(x_i)}$$ (26)

Então, o intervalo de possíveis valores para $e_{i}$ é $min(e_{min}) \leq e_{i} \leq max(e_{max})$, onde $min(e_{min})$ é o menor valor encontrado para no vetor $e_{min}$ e $max(e_{max})$ é o maior valor encontrado para o vetor $e_{max}$.

Dentro desse intervalo de valores, pode-se realizar uma busca para determinar um possível valor de $e_{i}$ em um espaço de busca mais reduzido de forma a encontrar mais facilmente um matriz $T$ que satisfaça o problema.