Cálculo da matriz de transformação $T$
para uma rotina de otimização

Classifica-se a matriz $T$ como uma matriz de transformação através da qual consegue-se aproximar as matriz abstratas $R_{a}$ e $F_{a}$ obtidas às matrizes desejadas $R$ e $F$, logo, representa a solução do problema.

Podemos representar a matriz $F$ da seguinte maneira:

$$F = \left[ \begin{array}{cc cc} \longleftarrow \mathbf{f_{1j... ...ftarrow \mathbf{f_{3j}} \longrightarrow \\ \end{array}\right]$$ (11)

onde $1 \leq j \leq npix$. A matriz $F_{a}$ pode ser representada da mesma maneira.

A matriz $T$ é uma transformação que leva cada ponto do espaço de matrizes abstratas ao espaço de matrizes reais de maneira única, então a matriz pode ser classificada como uma transformação linear (Barone[1],Callioli[2]).

Entretanto o espaço de busca da matriz $T$ é muito grande, pois consiste em todo o espaço gerado por quaisquer três vetores, tornando-se viável determinar somente o subspaço que contém a matriz $T$ de resposta.

A análise entre os vetores $F_{a}$ e $F$ e $R_{a}$ e $R$ mostrou que a partir dos ângulos entre seus vetores é possível obter a seguinte de decomposição de $T$:

$$T^{-1} = EA$$ (12)

onde $E$ é uma matriz de escala da forma:

$$E = \left[ \begin{array}{cc cc} e_{1} & 0 & 0\\ 0 &e_{2} & 0\\ 0 & 0 & e_{3}\\ \end{array}\right]$$ (13)

e a matriz $A$ tem a seguinte forma:

$$A = \left[ \begin{array}{cc cc} cos(\mathbf{f_{1j}},\mathbf... ...(\mathbf{f_{3j}},\mathbf{(f_{a})_{3j}}) \\ \end{array}\right]$$ (14)

onde cada cosseno foi obtido do ângulo calculado entre os vetores de $F$ e $F_{a}$, onde $F$ e $R$ foram gerados aleatoriamente. A mesma analogia pode ser feita com os ângulos das matrizes $R$ e $R_{a}$.

A razão da existência da matriz $E$ se deve ao fato de que o espaço representado pela matriz $R_{a}$ pode estar em uma escala diferente da original. Após análise dos padrões formados pela matriz $A$, reduziu-se a matriz $A$ à seguinte matriz composta de coordenadas esféricas:

$$A = \left[ \begin{array}{cc cc} cos(x_1)*cos(y_1) & cos(x_1... ...os(y_3) & cos(x_3)*sen(y_3) & -sen(x_3) \\ \end{array}\right]$$ (15)

Com a decomposição da matriz $T$, determinou-se um subespaço dentro do espaço de possibilidades que formam todas as possíveis composições de matrizes que levam à matriz $T$, de forma a reduzir o tempo de busca por uma matriz $T$ com tais configurações.