Análise Fatorial do MLME

A análise fatorial é um método para exploração de conjuntos multidimensionais que podem ser representados como uma soma de produtos de funções (Garcia[4],Mallinowski[10]).

Sendo nosso conjunto multidimensional representado pela matriz de resposta espectral dos componentes puros, quando utilizadas as diferentes bandas do satélite, podemos decompor a imagem no seguinte sistema superdeterminado de equações:

$$D = \overline{R}\overline{F}$$ (1)

onde a matriz $\overline{R}$ representa a resposta espectral dos componentes puros em cada uma das bandas do satélite e a matriz $\overline{F}$ descreve a proporção desses componentes em cada um dos pixels da imagem.

Vamos definir npix como o total de pixels de uma imagem, nend como o total de componentes puros da imagem e nban como sendo o total de bandas analisadas.

A matriz $\overline{R}$ tem nend componentes puros para cada uma das nban bandas. A matriz $\overline{F}$ tem a proporção em cada uma das nban bandas para os npix pixels da imagem.

Multiplicando a matriz da imagem D por sua transposta obtêm-se:

$$Z = DD^T$$ (2)

A matriz $Z$ representa a medida da associação dos pontos da imagem entre si de forma a representar também a imagem. Ela é denominada de matriz de covariância (Reyment[12]). O tamanho dessa matriz varia conforme o número de bandas analisadas da imagem.

A partir de $Z$ pode-se computar os autovalores e autovetores respectivos dessa matriz, que indicam a disposição dos dados no espaço de variáveis. Os autovetores indicam as direções das maiores porções do espaço por onde os dados estão dispersos e os autovalores respectivos a cada um dos autovetores indicam o tamanho da dispersão dos dados na direção em questão.

Cada autovetor é relativo a um determinado componente de mistura encontrado na imagem, cujas respostas em freqüência são independentes entre si.

Seja $Q$ a matriz de autovetores de $Z$, onde as linhas são as coordenadas espaciais dos autovetores e cada coluna descreve um possível componente puro espacialmente. Seja $\lambda$ uma matriz diagonal cujos respectivos valores representam os autovalores de $Z$.

Segundo as propriedades de autovetores e autovalores, pode-se escrever a seguinte equação:

$$ZQ = Q\lambda$$ (3)

Os vetores de $Q$ são ortogonais entre si e possuem norma 1, formando uma base ortogonal (Barone [1], Callioli[2]), e por isso possui inversa que também é a matriz transposta de $Q$. Será denominada a matriz inversa de $Q$ por $Q^{-1}$ e a matriz transposta de $Q$ por $Q^{T}$.

Usando a decomposição por valores singulares (Singular Value Decomposition - SVD) (Reyment[12]), pode-se obter representações abstratas da matriz $\overline{R}$ e da matriz $\overline{F}$ obtendo:

$$D = VSU^T$$ (4)

A matriz formada por $V*S$ é a forma abstrata da matriz $\overline{R}$ (matriz $R_{a}$) e a matriz $U$ é a forma abstrata da matriz $\overline{F}$ (matriz $F_{a}$).

A partir da matriz $\lambda$ calcula-se a matriz $S$ de valores singulares:

$$S = \left[ \begin{array}{cc cc} s_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 ... ...ots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & s_{n}\\ \end{array}\right]$$

onde $s_n = \sqrt{\lambda_n}$, sendo que n é o número de autovalores da matriz $\lambda$.

A matriz $V$ é a matriz de autovetores de $Z$, logo $V$ é igual à matriz $Q$.

Os elementos da matriz $U$ são da forma:

$$U = D^{T}VS^{-1}$$ (5)

Comparativamente com a primeira equação obtem-se a relação por analogia:

$$U^T = F_{a} \equiv \overline{F}$$ (6)

e

$$VS = R_{a} \equiv \overline{R}$$ (7)

A equação (6) representa a matriz abstrata de proporção dos componentes de mistura em cada pixel.A equação (7) representa a matriz abstrata de resposta espectral dos j Endmembers.

O problema a ser resolvido consiste em descobrir uma matriz de transformação $T$ inversível de tamanho número de endmembers x número de endmembers que se denominará por Indivíduo onde:

$$R = R_{a}T^{-1}$$ (8)

e

$$F = TF_{a}$$ (9)

Logo:

$$D = R_{a}TT^{-1}F_{a} = RF$$ (10)

Isso acontece pois tanto $R_{a}$ quanto $F_{a}$ podem possuir dados que não possuem a equivalência física desejada. Dessa forma, deve-se encontrar novas matrizes $R$ e $F$ que correspondam fisicamente às matrizes $\overline{R}$ e $\overline{F}$ esperadas.