Medidas estatísticas

As primeiras medidas estudadas foram média, mediana e moda. Foram também estudadas as seguintes medidas de comparação de distribuições:

Kullback-Leibler divergence

$\displaystyle \mathcal {D}$ (p₁ || p₀) = $\displaystyle \int$ p₁(x)log $\displaystyle {\frac{{p_1(x)}}{{p_0(x)}}}$ dx

Como a distância de Kullback-Leibler não é simétrica, foi utilizada a média harmônica para simetrizá-la (conforme sugerido em[5]):

$\displaystyle {\frac{{1}}{{\mathcal{R}(p_0, p_1)}}}$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\mathcal{D}(p_1 \parallel p_0)}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{\mathcal{D}(p_0 \parallel p_1)}}}$

Skew divergence [6]

$\displaystyle \mathcal {S}$ (q, r) = $\displaystyle \mathcal {D}$ (r || $\displaystyle \alpha$ q + (1 - $\displaystyle \alpha$ )r)

Onde $\mathcal {D}$ é a distância de Kullback-Leibler e $\alpha$ é um fator de correção.

Como a Skew não é simétrica, utilizamos o mesmo método de simetrização da Kullback-Leibler.

Chernoff

$\displaystyle \mathcal {C}$ (p₀, p₁) = $\displaystyle \max_{{0 \le t \le 1}}^{}$ - log $\displaystyle \mu$ (t), $\displaystyle \mu$ (t) = $\displaystyle \int$ [p₀(x)]^1-t[p₁(x)]^tdx

Bhattacharyya

$\displaystyle \mathcal {B}$ (p₀, p₁) = - log $\displaystyle \mu$ ( $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ )

Onde $\mu$ é a função definida na distância de Chernoff.

Notemos que as métricas citadas acima referem-se a distribuições contínuas, enquanto que neste projeto lidamos com distribuições discretas (de scores do Blast). Portanto, são criados histogramas para agrupar os scores e as integrais foram substituídas por somatórios. Um problema que pode ocorrer durante a construção dos histogramas é que, se os genomas em questão forem muito diferentes, os scores de sua comparação serão muito baixos. Assim, ao compararmos essa distribuição, que anteriormente chamamos de D₂, com a distribuição D₁ poderá acontecer de a primeira resumir-se a apenas uma classe do histograma. Para evitar esse problema, construímos o histograma de forma que a distribuição de menor footprint seja distribuída em 10 classes.

Um problema da distância de Kullback-Leibler é que ela não aceita que a função p₀ assuma valores nulos. Como não lidamos com distribuições contínuas mas sim com histogramas, eventualmente classes do histograma da distribuição p₀ assumem valores nulos. Por isso, tivemos que adaptar os histogramas para que nenhum valor fosse nulo, mas assumisse um valor baixo. Esse valor é calculado como sendo 5% do valor mínimo que uma classe possui, considerando as duas distribuições sendo comparadas.

É exatamente esse tipo de problema que a Skew procura resolver. Utilizando o parâmetro $\alpha$ , notamos que o problema é resolvido, sem termos que alterar os histogramas. A Skew defende a idéia de que é melhor utilizarmos uma versão aproximada da Kullback-Leibler do que utilizar a Kullback-Leibler em distribuições adaptadas.

Podemos observar as semelhanças entre as distâncias de Chernoff e Bhattacharyya. De fato, a distância de Bhattacharyya é um caso particular da de Chernoff, com o parâmetro t igual a ${\frac{{1}}{{2}}}$ . Essas distâncias foram testadas quanto à proximidade de seus resultados e foi verificado, empioricamente, que realmente a Bhattacharyya é uma boa aproximação da Chernoff. Um problema da Chernoff é que ela é computacionalmente difícil de ser calculada, enquanto que a Bhattacharyya é muito simples.

Embora as distâncias de Chernoff e Bhattacharyya aceitem que as distribuições assumam o valor zero em alguns pontos, optamos por fazer a mesma adaptação nos histogramas feita para a Kullback-Leibler. Isso porque sempre que uma distribuição for zero em um ponto, o elemento correspondente no somatório será zero, e como isso pode acontecer muitas vezes perderíamos muita informação.