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Esse capítulo descreve funções para solucionar sistemas lineares. A
biblioteca fornece operações de álgebra linear que atuam diretamente sobre
objetos gsl_vector e objetos gsl_matrix. Essas rotinas
usam algoritmos padronizados de Golub & Van Loan’s Matrix
Computations com chamadas a BLAS Nível 1 e Nível 2 em nome da eficiência.
As funções descritas nesse capítulo são declaradas no arquivo de cabeçalho ‘gsl_linalg.h’.
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Uma matriz quadrada genérica A tem uma decomposição LU em
matrizes triangulares alta e baixa,
|
Essas funções fatora a matriz quadrada A na decomposição LU PA = LU. Na saída a diagonal e a parte triangular alta da matriz de entrada A possuem a matriz U. A parte triangular baixa da matriz de entrada (excluindo a diagonal) contém L. Os elementos da diagonal L são unidades, e não são armazenados.
A matriz de permutação P é codificada na permutação p. A j-ésima coluna da matriz P é fornecida pela k-ésima coluna da matriz identidade, onde k = p_j o j-ésimo elemento do vetor de permutação. O sinal da permutação é fornecido por signum. O sinal da permutação tem o valor (-1)^n, onde n é o número de trocas na permutação.
O algoritmo usado na decomposição é a Eliminação de Gauss com pivotamento parcial (Golub & Van Loan, Matrix Computations, Algorithm 3.4.1).
Essas funções resolvem os sistema quadrado A x = b usando a decomposição
LU de A em (LU, p) fornecido por
gsl_linalg_LU_decomp ou gsl_linalg_complex_LU_decomp como entrada.
Essas funções resolvem o sistema quadrado A x = b localmente usando a decomposição LU pré-computada de A em (LU,p). Na entrada x deve conter o segundo membro b, que é substituído pela solução na saída.
Essas funções aplicam um melhoramento iterativo ao valor de x, que é a solução de A x = b, a partir da decomposição LU pré-computada de A dentro de (LU,p). O resíduo inicial r = A x - b é também computado e armazenado em residual.
Essas funções calculam a inversa de uma matriz A partindo de sua decomposição LU (LU,p), armazenando o resultado na matriz inverse. A inversa é calculada resolvendo o sistema A x = b para cada coluna da matriz identidade. Essa forma é preferível para evitar uso direto da inversa sempre que possível, uma vez que as funções resolvedoras lineares podem obter o mesmo resultado mais eficientemente e de forma mais confiável (consulte qualquer livro texto introdutório sobre álgebra numérica linear para maiores detalhes).
Essas funções calculam o determinante de uma matriz A a partir de sua decomposição LU, armazenada na variável LU. O determinante é calculado como o produto dos elementos da diagonal de U e o sinal da permutação de linha signum.
Essas funções calculam o logaritmo do valor absoluto do determinante de uma matriz A, \ln|\det(A)|, a partir de sua decomposição LU, armazenada na variável LU. Essa função pode ser útil se o cálculo direto do determinante causar overflow ou underflow.
Essas funções calculam o sinal ou fator de fase do determinante de uma matriz A, \det(A)/|\det(A)|, a partir de sua decomposição LU, armazenada na variável LU.
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Uma matriz genérica A retangular M-por-N tem uma
decomposição QR composta pelo produto de uma matriz quadrada Q ortogonal
M-por-M (onde Q^T Q = I) e
uma matriz M-por-N triangular direita R,
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Essa função fatoriza a matriz A de ordem M-por-N na decomposição QR A = Q R. Na saída a diagonal e a parte triangular alta da matriz de entrada possuem a matriz R. O vetor tau e as colunas da parte triangular baixa da matriz A possuem os coeficientes de Householder e vetores de Householder que codificam a matriz ortogonal Q. O vetor tau deve ser de comprimento k=\min(M,N). O vetor da matriz Q está relacionado a essas componentes por, Q = Q_k ... Q_2 Q_1 onde Q_i = I - \tau_i v_i v_i^T e v_i é o vetor de Householder v_i = (0,...,1,A(i+1,i),A(i+2,i),...,A(m,i)). Esse é o mesmo esquema de armazenamento usado na biblioteca LAPACK.
O algoritmo usado para executar a decomposição é Householder QR (Golub & Van Loan, Matrix Computations, Algoritmo 5.2.1).
Essa função resolve o sistema quadrado A x = b usando a decomposição
QR de A mantida em (QR, tau) que deve
ter sido calculada previamente com gsl_linalg_QR_decomp.
A solução mínimo quadrado para
sistemas retangulares pode ser encontrada usando gsl_linalg_QR_lssolve.
Essa função resolve o sistema quadrado A x = b localmente usando
a decomposição QR da matriz A mantida em (QR,tau)
que deve ter sido calculada previamente através de
gsl_linalg_QR_decomp. Na entrada x deve conter o
segundo membro b, que é substituido pela solução na saída.
Essa função encontra a solução mínima quadrada para o sistema
sobredeterminado A x = b onde a matriz A tem mais linhas que
colunas. A solução mínima quadrada minimiza o módulo Euclideano do
resíduo, ||Ax - b||. A rotina requer como entrada
a decomposição QR
de A em (QR, tau) fornecido através de
gsl_linalg_QR_decomp. A solução é retornada em x. O
resíduo é calculado como um por-produto e armazenado em residual.
Essa função aplica a matriz Q^T codificada na decomposição (QR,tau) para o vetor v, armazenando o resultado Q^T v em v. A multiplicação de matriz é realizada diretamente usando a codificação de vetores de Householder sem precisar formar a matriz completa Q^T.
Essa função aplica a matriz Q codificada na decomposição (QR,tau) ao vetor v, armazenando o resultado Q v em v. A multiplicação da matriz é realizada diretamente usando a codificação de vetores de Householder sem precisar formar a matriz completa Q.
Essa função aplica a matriz Q^T codificada na decomposição (QR,tau) na matriz A, armazenado o resultado Q^T A em A. A multiplicação de matriz é realizada diretamente usando a codificação de vetores de Householder sem precisar formar a matriz completa Q^T.
Essa função resolve o sistema triangular R x = b em relação a
x. Essa função pode ser útil se o produto b' = Q^T b já tiver
sido calculado usando gsl_linalg_QR_QTvec.
Essa função resolve o sistema triangular R x = b em relação a x
localmente. Na entrada x deve conter o segundo membro da igualdade b
e é substituído pela solução na saída. Essa função pode ser útil se
o produto b' = Q^T b já tiver sido calculado usando
gsl_linalg_QR_QTvec.
Essa função desempacota a decomposição codificada QR (QR,tau) em matrizes Q e R, onde Q é de ordem M-por-M e R é de ordem M-por-N.
Essa função resolve o sistema R x = Q^T b em relação a x. Essa função pode ser usada quando a decomposição QR de uma matriz está disponível na forma desempacotada como (Q, R).
Essa função executa uma atualização posto-1 w v^T da decomposição QR (Q, R). A atualização é fornecida por Q'R' = Q (R + w v^T) onde as matrizes de saída Q' e R' são também ortogonal e triangular direita. Note que w é destruída pela atualização.
Essa função resolve sistema triangular R x = b para a matriz R de ordem N-por-N.
Essa função resolve o sistema triangular R x = b localmente. Na entrada x deve conter o segundo membro da igualdade b, o qual é substituído pela solução na saída.
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A decomposição QR pode ser extendida para o caso deficiente de posto
por introdução de uma permutação de coluna P,
|
Essa função fatoriza a matriz A de ordem M-por-N na decomposição QRP^Tde forma que A = Q R P^T. Na saída a diagonal e a parte triangular alta da matriz de entrada possuem a matriz R. A matriz de permutação P é armazenada na permutação p. O sinal da permutação é fornecido por signum. O sinal da permutação tem o valor (-1)^n, onde n é o número de trocas na permutação. O vetor tau e as colunas da parte triangular baixa da matriz A possuem os coeficientes de Householder e vetores que codificam a matriz ortogonal Q. O vetor tau deve ser de comprimento k=\min(M,N). A matriz Q é relacionada a esses componentes através de, Q = Q_k ... Q_2 Q_1 onde Q_i = I - \tau_i v_i v_i^T e v_i é o vetor de Householder v_i = (0,...,1,A(i+1,i),A(i+2,i),...,A(m,i)). Esse esquema de armazenamento é o mesmo usado por LAPACK. O vetor norm é um espaço de trabalho de comprimento N usado para pivotamento de coluna.
O algoritmo usado para executar a decomposição é o de Householder QR com pivotamento de coluna (Golub & Van Loan, Matrix Computations, Algorítimo 5.4.1).
Essa função fatoriza a matriz A na decomposição A = Q R P^T sem modificar a matriz A propriamente dita e armazena a saída em matrizes separadas q e r.
Essa função resolve o sistema quadrado A x = b usando a decomposição
QRP^T da matriz A mantida em QR, tau, p) que deve
ter sido calculado previamente por gsl_linalg_QRPT_decomp.
Essa função resolve o sistema quadrado A x = b localmente usando a decomposição QRP^T de A mantida em (QR,tau,p). Na entrada x deve conter o segundo membro da igualdade b, que é substituído pela solução na saída.
Essa função resolve o sistema quadrado R P^T x = Q^T b em relação a x. Pode ser usada quando a decomposição QR de uma matriz estiver disponível na forma desempacotada como (Q, R).
Essa função pexecuta uma atualização posto-1 w v^T da decomposição QRP^T (Q, R, p). A atualização é fornecida por Q'R' = Q (R + w v^T P) onde as matrizes de saída Q' e R' são também ortogonais e triangular direita. Note que w é destruído pela atualização. a permutação p não é modificada.
Essa função resolve o sistema triangular R P^T x = b para a matriz R de ordem N-por-N contida em QR.
Essa função resolve o sistema triangular R P^T x = b localmente para a matriz R de ordem N-por-N contida em QR. Na entrada x deve conter o segundo membro b, que é substituído pela solução na saída.
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Uma matriz A retangular genérica de ordem M-por-N tem uma
decomposição de valor singular (DVS (36)) no produto de uma
matriz ortogonal U de ordem M-por-N , matriz diagonal de valores singulares S
de ordem N-por-N e a transposta de uma
matriz ortogonal quadrada V de ordem N-por-N,
|
A decomposição de valor singular de uma matriz tem muitos usos práticos. O número de condição da matriz é dado pela razão entre o maior valor singular e o menor valor singular. A presença de um valor singular zero indica que a matriz é singular. O número de valores singulares não nulos indica o posto da matriz. Na prática a decomposição de valor singular de uma matriz posto deficiente não irá produzir zeros exatos para valores singulares, devido à precisão numérica finita. Pequenos valores singulares devem ser editados escolhendo uma tolerância adequada.
Para uma matriz posto deficiente, o espaço nulo de A é dado pelas colunas de V que correspondem a valores singulares nulos. Semelhantemente, o intervalo de A é dado pelas colunas de U que correspondem a valores singulares não nulos.
Note que as rotinas aqui calculam a versão “esparsa” da DVS com U como matriz ortogonal de ordem M-por-N. Isso permite cálculos localmente e é a forma mais comumente usada na prática. Matematicamente, a DVS “completa” é definida com U como uma matriz ortogonal de ordem M-por-M e S como uma matriz diagonal de ordem M-por-N (com linhas adicionais nulas).
Essa função fatora a matriz A de ordem M-por-N na decomposição de valor singular A = U S V^T para M >= N. Na saída a matriz A é substituída por U. Os elementos da diagonal da matriz de valores singulares S são armazenados no vetor S. Os valores singulares são não negativos e formam uma sequência não crescente de S_1 a S_N. A matriz V contém os elementos de V na forma não transposta. Para formar o produto U S V^T é necessário tomar a transposta de V. Um espaço de trabalho de comprimento N é necessário e armazenado em work.
Essa rotina usa o algoritmo de decomposição em valores singulares de Golub-Reinsch.
Essa função calcula a DVS usando o algoritmo modificado de Golub-Reinsch, que é mais rápido nos casos onde M>>N. Requer o vetor work de comprimento N e a matriz X de ordem N-por-N como espaço de trabalho adicional.
Essa função calcula a DVS da matriz A de ordem M-por-N usando ortogonalização de Jacobi de um lado para M >= N. O método de Jacobi pode calcular valores singulares para maiores precisões relativas que os algoritmos de Golub-Reinsch (veja as referências para detalhes).
Essa função resolve o sistema A x = b usando a decomposição de valor
singular (U, S, V) de A que deve
ter sido calculada préviamente com gsl_linalg_SV_decomp.
Somente valores singulares não nulos são usados no cálculo da solução. As partes da solução correspondendo aos valores singulares nulos são ignoradas. Outros valores singulares podem ser editados na saída ajustando-os para zero antes de chamar essa função.
No caso onde A tem mais linhas que colunas o sistema é resolvido no senso dos mínimos quadrados, retornando a solução x que minimiza ||A x - b||_2.
Essa função calcula os valores estatísticos de maximização h_i de uma matriz A
usando decomposição em valores singulares (U, S, V) previamente calculados
com gsl_linalg_SV_decomp. Os h_i são os valores de diagonal da matriz
A (A^T A)^{-1} A^T e dependem somente da matriz U que é a entrada para
essa função.
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Uma matriz quadrada definida positiva A simétrica tem uma decomposição de
Cholesky em um produto de uma matriz triangular baixa L e
sua transposta L^T,
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Essas funções fatoram a matriz quadrada definida positiva simétrica
A na decomposição de Cholesky A = L L^T (ou
A = L L^H
para o caso complexo). Na entrada, os valores da diagonal e da parte triangular baixa da matriz A são usados (a parte triangular alta é ignorada). Na saída a diagonal e a parte triangular baixa da matriz de
entrada A possuem a matriz L, enquanto a parte triangular alta
da matriz de entrada é sobrescrita com L^T (os termos da diagonal sendo
idênticos para ambas as matrizes L e L^T). Se a matriz não for
definida positiva então a decomposição irá falhar, retornando o
código de erro GSL_EDOM.
Ao testar se uma matriz é definida positiva, desabilite o controlador de erro primeiramente para evitar o bombardeamento com mensagens de erro.
Essas funções resolve o sistema A x = b usando a decomposição de
Cholesky de A mantida na matriz cholesky que deve
ter sido previamente calculada por gsl_linalg_cholesky_decomp ou por
gsl_linalg_complex_cholesky_decomp.
Essas funções resolve o sistema A x = b localmente usando a
decomposição de Cholesky de A mantida na matriz cholesky
que deve ter sido previamente calculada por
gsl_linalg_cholesky_decomp ou por
gsl_linalg_complex_cholesky_decomp. Na entrada x deve
conter o segundo membro b, que é substituído pela
solução na saída.
Essas funções calculam a inversa de uma matriz a partir de sua decomposição de
Cholesky cholesky, que deve ter sido calculada previamente
por gsl_linalg_cholesky_decomp ou por
gsl_linalg_complex_cholesky_decomp. Na saída, a inversa é
armazenada localmente em cholesky.
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Uma matriz simétrica A pode ser fatorada por transformação de
semelhança na forma,
|
Essa função fatora matriz quadrada simétrica A na decomposição tridiagonal simétrica Q T Q^T. Na saída a diagonal e a parte da subdiagonal da matriz de entrada A possuem a matriz tridiagonal T. A parte restante triangular baixa da matriz de entrada possui os vetores de Householder que, juntamente com os coeficientes de Householder tau, codificam a matriz ortogonal Q. Esse esquema de armazenagem é o mesmo usado em LAPACK. A parte triangular alta de A não é referenciada.
Essa função desempacota a decomposição tridiagonal simética codificada em
(A, tau) obtida a partir de gsl_linalg_symmtd_decomp na
matriz ortogonal Q, no vetor de elementos da diagonal diag
e no vetor de elementos da subdiagonal subdiag.
Essa função desempacota a diagonal e a subdiagonal da decomposição
simétrica tridiagonal codificada em (A, tau) obtida a partir de
gsl_linalg_symmtd_decomp nos vetores diag e subdiag.
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Uma matriz de Hermite A pode ser fatorada por transformações de
semelhança na forma,
|
Essa função fatora a matriz de Hermite A na decomposição tridiagonal simétrica U T U^T. Na saída as partes real da diagonal e a parte da subdiagonal da matriz de entrada A possuem a matriz tridiagonal T. A restante parte triangular baixa da matriz de entrada contém os vetores de Householder que, juntamente com os coeficientes de Householder tau, codificam a matriz unitária U. Esse esquema de armazenagem é o mesmo usado em LAPACK. A parte triangular alta de A e as partes imaginárias da diagonal não são referenciadas.
Essa função desempacota a decomposição tridiagonal codificada em (A,
tau) obtida a partir de gsl_linalg_hermtd_decomp na
matriz unitária U, no vetor real de elementos da diagonal diag e
o vetor real de elementos da subdiagonal subdiag.
Essa função desempacota a diagonal e a subdiagonal da decomposição
tridiagonal codificada em (A, tau) obtida a partir de
gsl_linalg_hermtd_decomp nos vetores reais
diag e subdiag.
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Uma matriz genérica A pode ser decomposta por transformações de
semelhança ortogonais na forma
|
Essa função calcula a decomposição de Hessenberg da matriz A aplicando a transformação de semelhança H = U^T A U. Na saída, H é armazenada na porção alta de A. A informação requerida para construir a matriz U é armazenada na porção triangular baixa de A. U é um produto de N - 2 matrizes de Householder. Os vetores de Householder são armazenados na porção baixa de A (abaixo da subdiagonal) e os coeficientes de Householder são armazenados no vetor tau. O vetor tau deve ser de comprimento N.
Essa função contrói a matriz ortogonal U a partir da
informação armazenada na matriz de Hessenberg H juntamente com o
vetor tau. H e tau são saídas de
gsl_linalg_hessenberg_decomp.
Essa função é semelhante a gsl_linalg_hessenberg_unpack, exceto que
acumula a matriz U em V, de forma que V' = VU.
A matriz V deve ser inicializada previamente para chamar essa função.
Ajustando V para a matriz identidade fornece o mesmo resultado que
gsl_linalg_hessenberg_unpack. Se H for de ordem N, então
V deve ter N colunas mas pode ter qualquer número de linhas.
Essa função ajusta a porção triangular baixa de H, abaixo
da subdiagonal, para zero. É útil para limpar a saída dos
vetores de Householder após chamar gsl_linalg_hessenberg_decomp.
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Um par genérico de matrizes reais (A, B) pode ser decomposto em
transformações de semelhança ortogonais na forma
|
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Essa função calcula a decomposição triangular de Hessenberg do par de matrizes (A, B). Na saída, H é armazenada em A, e R é armazenada em B. Se U e V forem fornecidas (elas podem ser nulas), as transformações de semelhança são armazenadas nelas. Espaço de trabalho adicional de comprimento N é necessário em work.
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Uma matriz genérica A pode ser fatorada por transformações de
semelhança na forma,
|
Essa função fatora a matriz A de ordem M-por-N na forma bidiagonal U B V^T. A diagonal e a superdiagonal da matriz B são armazenadas na diagonal e na superdiagonal de A. As matrizes ortogonais U e V são armazenadas como vetores comprimidos de Householder nos elementos restantes de A. Os coeficientes de Householder são armazenados nos vetores tau_U e tau_V. O comprimento de tau_U deve ser igual ao número de elementos na diagonal de A e o comprimento de tau_V deve sem um elementos mais curto.
Essa função revela a decomposição bidiagonal de A produzida por
gsl_linalg_bidiag_decomp, (A, tau_U, tau_V)
em matrizes ortogonais separadas U, V e o vetor
diagonal diag e o vetor superdiagonal superdiag. Note que U
é armazenado como uma matriz ortogonal compacta de ordem M-por-N satisfazendo
U^T U = I por eficiência.
Essa função revela a decomposição bidiagonal de A produzida por
gsl_linalg_bidiag_decomp, (A, tau_U, tau_V)
nas matrizes ortogonais separadas U, V e o vetor
diagonal diag e o vetor superdiagonal superdiag. A matriz U
é armazenada localmente em A.
Essa função revela a diagonal e a superdiagonal da decomposição
bidiagonal de A a partir de gsl_linalg_bidiag_decomp, no
vetor diagonal diag e no vetor superdiagonal superdiag.
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Uma transformação de Householder é uma modificação posto-1 da matriz
identidade a qual pode ser usada para zerar elementos selecionados de um vetor. Uma
matriz de Householder P toma a forma,
|
Essa função prepara uma transformação de Householder P = I - \tau v v^T que pode ser usada para zerar todos os elentos do vetor de entrada exceto o primeiro. Na saída a transformação é armazenada no vetor v e o escalar \tau é retornado.
Essa função aplica a matriz de Householder P definida pelo escalar tau e o vetor v ao lado esquerdo da matriz A. Na saída o resultado P A é armazenado em A.
Essa função aplica a matriz de Householder P definida pelo escalar tau e pelo vetor v ao lado direito da matriz A. Na saída o resultado A P é armazenado em A.
Essa função aplica a transformação de Householder P definida pelo escalar tau e pelo vetor v para o vetor w. Na saída o resultado P w é armazenado em w.
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Essa função resolve o sistema A x = b diretamente usando transformações de Householder. Na saída a solução é armazenada em x e b não é modificada. A matriz A é destruída pelas transformações de Householder.
Essa função resolve o sistema A x = b localmente usando transformações de Householder. Na entrada x deve conter o segundo membro da igualdade b, o qual é substituído pela solução na saída. A matriz A é destruída pelas transformações de Householder.
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As funções descritas nessa seção resolvem eficientemente sistemas
tridiagonais simétricos, não simétricos e cíclicos com armazenamento mínimo.
Note que as implementações atuais dessas funções usam uma variante
da decomposição de Cholesky, de forma que a matriz tridiagonal deve ser definida
positiva. Para matrizes não definidas positivas, as funções retornam
o código de erro GSL_ESING.
Essa função resolve o sistema genérico A x = b de ordem N-por-N
onde A é uma matriz tridiagonal (N >= 2). Os vetores superdiagonal e
subdiagonal e e f devem ser um elemento mais curto
que o vetor diagonal diag. A forma de A para o caso
4-por-4 é mostrado abaixo,
|
Essa função resolve o sistema genérico A x = b de ordem N-por-N
onde A é tridiagonal simétrica (N >= 2). O vetor off-diagonal
e (37)deve ser um elementos mais curto que o vetor diagonal diag.
A forma de A para o caso 4-por-4 é mostrada abaixo,
|
Essa função resolve o sistema genérico A x = b de ordem N-por-N
onde A é tridiagonal cíclica (N >= 3). Os vetores cíclicos
superdiagonal e e subdiagonal f devem ter o mesmo número de
elementos do vetor diagonal diag. A forma de A para o
caso 4-por-4 é mostrado abaixo,
|
Essa função resolve o sistema genérico A x = b de ordem N-por-N
onde A é tridiagonal cíclica (38) simétrica (N >= 3). O vetor cíclico
off-diagonal e deve ter o mesmo número de elementos do
vetor diagonal diag. A forma de A para o caso 4-por-4 é
mostrada abaixo,
|
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O processo de balanceamento de uma matriz aplica transformações de semelhança
para fazer com que linhas e colunas tenham normas comparáveis. Isso é
útil, por exemplo, para reduzir erros de arredondamento na solução
de problemas com autovalores. Balancear uma matriz A consiste
na substituição de A por uma matriz semelhante
|
Essa função substitui a matriz A por sua correspondente balanceada e armazena os elementos da diagonal da transformação de semelhança no vetor D.
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O seguinte programa resolve o sistema linear A x = b. O
sistema a ser resolvido é,
|
#include <stdio.h>
#include <gsl/gsl_linalg.h>
int
main (void)
{
double a_data[] = { 0.18, 0.60, 0.57, 0.96,
0.41, 0.24, 0.99, 0.58,
0.14, 0.30, 0.97, 0.66,
0.51, 0.13, 0.19, 0.85 };
double b_data[] = { 1.0, 2.0, 3.0, 4.0 };
gsl_matrix_view m
= gsl_matrix_view_array (a_data, 4, 4);
gsl_vector_view b
= gsl_vector_view_array (b_data, 4);
gsl_vector *x = gsl_vector_alloc (4);
int s;
gsl_permutation * p = gsl_permutation_alloc (4);
gsl_linalg_LU_decomp (&m.matrix, p, &s);
gsl_linalg_LU_solve (&m.matrix, p, &b.vector, x);
printf ("x = \n");
gsl_vector_fprintf (stdout, x, "%g");
gsl_permutation_free (p);
gsl_vector_free (x);
return 0;
}
Aqui está a saída do programa,
x = -4.05205 -12.6056 1.66091 8.69377
Isso pode ser verificado multiplicando a solução x pela matriz original A usando GNU OCTAVE,
octave> A = [ 0.18, 0.60, 0.57, 0.96;
0.41, 0.24, 0.99, 0.58;
0.14, 0.30, 0.97, 0.66;
0.51, 0.13, 0.19, 0.85 ];
octave> x = [ -4.05205; -12.6056; 1.66091; 8.69377];
octave> A * x
ans =
1.0000
2.0000
3.0000
4.0000
Isso reproduz o vetor do lado direito original, b, em conformidade com a equação A x = b.
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Informação adicional sobre os algoritmos descritos nessa seção pode ser encontrada no seguinte livro,
A biblioteca LAPACK é descrita no seguinte manual,
O código fonte da LAPACK pode ser encontrado no website acima, juntamente com uma cópia online do guia de usuário.
O algoritmo modificado de Golub-Reinsch é descrito no seguinte artigo,
O algoritmo de Jacobi para decomposição de valor singular é descrito nos seguintes artigos,
lawns ou lawnspdf.
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Esse documento foi gerado em 23 de Julho de 2013 usando texi2html 5.0.