5 Números Complexos

As funções descritas nesse capítulo fornecem suporte aos números complexos. Os algoritmos procuram evitar underflows e overflows intermediários e desnecessários, permitindo que as funções sejam avaliadas sobre o plano complexo tanto quanto possível.

Para funções avaliadas de múltiplas formas o corte de ramo tem sido escolhido seguindo as convenções dos autores Abramowitz e Stegun no Handbook of Mathematical Functions (16). As funções retornam valores principais que são os mesmos valores retornados na calculadora GNU Calc, os quais por sua vez são os mesmos valores constantes em Common Lisp, The Language (Second Edition)(17) e nas calculadoras da série HP-28/48.

Os tipos complexos são definidos no arquivo de cabeçalho ‘gsl_complex.h’, enquanto que as correspondentes funções complexas e operações aritméticas são definidas em ‘gsl_complex_math.h’.

5.1 Representação de números complexos

Números complexos são representados usando o tipo gsl_complex. A representação desse tipo pode variar conforme a plataforma e não deve ser acessada diretamente. As funções e macros descritas abaixo permitem que números complexos sejam tratados de uma forma portável.

Por referência, a forma padrão do tipo gsl_complex é fornecida através da seguinte estrutura,

typedef struct
{
  double dat[2];
} gsl_complex;

A parte real e a parte imaginária são armazenadas em elementos vizinhos de um vetor estático de dois elementos (18). Isso elimina qualquer insersão de dados entre a parte real e a parte imaginária, dat[0] e dat[1], permitindo que a estrutura seja mapeada corretamente dentro de pacotes de vetores estáticos complexos.

Function: gsl_complex gsl_complex_rect (double x, double y)

Essa função usa as componentes cartesianas retangulares (x,y) para retornar o número complexo z = x + i y. Uma versão modificada dessa função é usada quando HAVE_INLINE for definida.

Function: gsl_complex gsl_complex_polar (double r, double theta)

Essa função retorna o número complexo z = r \exp(i \theta) = r (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) a partir da representação polar (r,theta).

Macro: GSL_REAL (z)

Macro: GSL_IMAG (z)

Essas macros retorna as partes real e imaginárias do número complexo z.

Macro: GSL_SET_COMPLEX (zp, x, y)

Essa macro usa as componentes cartesianas (x,y) para ajustar as partes reais e imaginárias do número complexo apontado por zp. Por exemplo,

GSL_SET_COMPLEX(&z, 3, 4)

ajusta z para ser 3 + 4i.

Macro: GSL_SET_REAL (zp,x)

Macro: GSL_SET_IMAG (zp,y)

Essas macros permitem que as partes real e imaginárias do número complexo apontado por zp sejam ajustados independentemente.

5.2 Propriedades dos números complexos

Function: double gsl_complex_arg (gsl_complex z)

Essa função retorna o argumento do número complexo z, \arg(z), onde -\pi < \arg(z) <= \pi.

Function: double gsl_complex_abs (gsl_complex z)

Essa função retorna o módulo (19) do número complexo z, |z|.

Function: double gsl_complex_abs2 (gsl_complex z)

Essa função retorna o quadrado do módulo do número complexo z, |z|^2.

Function: double gsl_complex_logabs (gsl_complex z)

Essa função retorna o logaritmo natural do módulo do número complexo z, \log|z|. A função gsl_complex_logabs permite uma avaliação precisa de \log|z| quando |z| está próximo da unidade. A avaliação direta de log(gsl_complex_abs(z)) pode conduzir a perda de precisão nesse caso.

5.3 Operadores Aritméticos Complexos

Function: gsl_complex gsl_complex_add (gsl_complex a, gsl_complex b)

Essa função retorna a soma de dois números complexos a e b, z=a+b.

Function: gsl_complex gsl_complex_sub (gsl_complex a, gsl_complex b)

Essa função retorna a diferença de dois números complexos a e b, z=a-b.

Function: gsl_complex gsl_complex_mul (gsl_complex a, gsl_complex b)

Essa função retorna o produto dos números complexos a e b, z=ab.

Function: gsl_complex gsl_complex_div (gsl_complex a, gsl_complex b)

Essa função retorna o quaciente dos números complexos a e b, z=a/b.

Function: gsl_complex gsl_complex_add_real (gsl_complex a, double x)

Essa função retorna a soma do número complexo a com o número real x, z=a+x.

Function: gsl_complex gsl_complex_sub_real (gsl_complex a, double x)

Essa função retorna a diferença entre o número complexo a e o número real x, z=a-x.

Function: gsl_complex gsl_complex_mul_real (gsl_complex a, double x)

Essa função retorna o produto do número complexo a e o número real x, z=ax.

Function: gsl_complex gsl_complex_div_real (gsl_complex a, double x)

Essa função retorna o quociente entre o número complexo a e o número real x, z=a/x.

Function: gsl_complex gsl_complex_add_imag (gsl_complex a, double y)

Essa função retorna a soma do número complexo a e o número imaginário puro iy, z=a+iy.

Function: gsl_complex gsl_complex_sub_imag (gsl_complex a, double y)

Essa função retorna a diferença entre o número complexo a e o número imaginário puro iy, z=a-iy.

Function: gsl_complex gsl_complex_mul_imag (gsl_complex a, double y)

Essa função retorna o produto do número complexo a e o número imaginário puro iy, z=a*(iy).

Function: gsl_complex gsl_complex_div_imag (gsl_complex a, double y)

Essa função retorna o quociente entre o número complexo a e o número imaginário puro iy, z=a/(iy).

Function: gsl_complex gsl_complex_conjugate (gsl_complex z)

Essa função retorna o conjugado do número complexo z, z^* = x - i y.

Function: gsl_complex gsl_complex_inverse (gsl_complex z)

Essa função retorna o inverso, ou recíproco, do número complexo z, 1/z = (x - i y)/(x^2 + y^2).

Function: gsl_complex gsl_complex_negative (gsl_complex z)

Essa função inverte o sinal do número complexo z, -z = (-x) + i(-y).

5.4 Funções complexas Elementares

Function: gsl_complex gsl_complex_sqrt (gsl_complex z)

Essa função retorna a raíz quadrada do número complexo z, \sqrt z. O corte do ramo é o eixo real negativo. O resultado sempre localiza-se na metade direita do plano complexo.

Function: gsl_complex gsl_complex_sqrt_real (double x)

Essa função retorna a raíz quadrada complexa do número real x, onde x pode ser negativo.

Function: gsl_complex gsl_complex_pow (gsl_complex z, gsl_complex a)

A função retorna o resultado do número complexo z elevado ao expoente complexo a, z^a. O resultado de z^a é calculado como \exp(\log(z)*a) usando logaritmo complexo e exponencial complexa.

Function: gsl_complex gsl_complex_pow_real (gsl_complex z, double x)

Essa função retorna o número complexo z elevado ao expoente real x, z^x.

Function: gsl_complex gsl_complex_exp (gsl_complex z)

Essa função retorna a exponencial complexa do número complexo z, \exp(z).

Function: gsl_complex gsl_complex_log (gsl_complex z)

Essa função retorna o logaritmo natural complexo (base e) do número complexo z, \log(z). O corte de ramo é o eixo real negativo.

Function: gsl_complex gsl_complex_log10 (gsl_complex z)

Essa função retorna o logaritmo complexo de base 10 do número complexo z, \log_10 (z).

Function: gsl_complex gsl_complex_log_b (gsl_complex z, gsl_complex b)

Essa função retorna o logaritmo complexo de base b do número complexo z, \log_b(z). Essa quantidade é calculada como a razão \log(z)/\log(b).

5.5 Funções Trigonométricas Complexas

Function: gsl_complex gsl_complex_sin (gsl_complex z)

Essa função retorna o seno complexo do número complexo z, \sin(z) = (\exp(iz) - \exp(-iz))/(2i).

Function: gsl_complex gsl_complex_cos (gsl_complex z)

Essa função retorna o cosseno complexo do número complexo z, \cos(z) = (\exp(iz) + \exp(-iz))/2.

Function: gsl_complex gsl_complex_tan (gsl_complex z)

Essa função retorna a tangente complexo do número complexo z, \tan(z) = \sin(z)/\cos(z).

Function: gsl_complex gsl_complex_sec (gsl_complex z)

Essa função retorna a secante complexa do número complexo z, \sec(z) = 1/\cos(z).

Function: gsl_complex gsl_complex_csc (gsl_complex z)

Essa função retorna a cossecante complexa do número complexo z, \csc(z) = 1/\sin(z).

Function: gsl_complex gsl_complex_cot (gsl_complex z)

Essa função retorna a cotangente complexa do número complexo z, \cot(z) = 1/\tan(z).

5.6 Funções Trigonométricas Complexas Inversas

Function: gsl_complex gsl_complex_arcsin (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco seno complexo do número complexo z, \arcsin(z). Os cortes de ramo estão sobre o eixo real, antes do -1 e após o 1.

Function: gsl_complex gsl_complex_arcsin_real (double z)

Essa função retorna o arco seno complexo do número real z, \arcsin(z). Para z entre -1 e 1, a função retorna um valor real no intervalo [-\pi/2,\pi/2]. Para z menor que -1 o resultado tem uma parte real de -\pi/2 e uma parte imaginária positiva. Para z maior que 1 o resultado tem uma parte real de \pi/2 e a parte negativa imaginária.

Function: gsl_complex gsl_complex_arccos (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco cosseno complexo do número complexo z, \arccos(z). Os cortes de ramo estão sobre o eixo real, menor que -1 e maior que 1.

Function: gsl_complex gsl_complex_arccos_real (double z)

Essa função retorna o arco cosseno complexo do número real z, \arccos(z). Para z entre -1 e 1, a função retorna um valor real no intervalo [0,\pi]. Para z menor que -1 o resultado tem uma parte real de \pi e uma parte imaginária negativa. Para z maior que 1 o resultado é puramente imaginário e positivo.

Function: gsl_complex gsl_complex_arctan (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco tangente complexo do número complexo z, \arctan(z). Os cortes de ramo estão sobre o eixo imaginário, abaixo de -i e acima de i.

Function: gsl_complex gsl_complex_arcsec (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco secante complexo do número complexo z, \arcsec(z) = \arccos(1/z).

Function: gsl_complex gsl_complex_arcsec_real (double z)

Essa função retorna o arco secante complexo do número real z, \arcsec(z) = \arccos(1/z).

Function: gsl_complex gsl_complex_arccsc (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco cossecante complexo do número complexo z, \arccsc(z) = \arcsin(1/z).

Function: gsl_complex gsl_complex_arccsc_real (double z)

Essa função retorna o arco cossecante complexo do número real z, \arccsc(z) = \arcsin(1/z).

Function: gsl_complex gsl_complex_arccot (gsl_complex z)

Essa função retorna arco cotangente complexo do número complexo z, \arccot(z) = \arctan(1/z).

5.7 Funções Hiperbólicas Complexas

Function: gsl_complex gsl_complex_sinh (gsl_complex z)

Essa função retorna seno hiperbólico complexo do número complexo z, \sinh(z) = (\exp(z) - \exp(-z))/2.

Function: gsl_complex gsl_complex_cosh (gsl_complex z)

Essa função retorna cosseno hiperbólico complexo do número complexo z, \cosh(z) = (\exp(z) + \exp(-z))/2.

Function: gsl_complex gsl_complex_tanh (gsl_complex z)

Essa função retorna a tangente hiperbólica complexa do número complexo z, \tanh(z) = \sinh(z)/\cosh(z).

Function: gsl_complex gsl_complex_sech (gsl_complex z)

Essa função retorna a secante hiperbólica complexa do númer complexo z, \sech(z) = 1/\cosh(z).

Function: gsl_complex gsl_complex_csch (gsl_complex z)

Essa função retorna a cossecante hiperbólica complexa do número complexo z, \csch(z) = 1/\sinh(z).

Function: gsl_complex gsl_complex_coth (gsl_complex z)

Essa função retorna a cotangente hipérbólica complexa do número complexo z, \coth(z) = 1/\tanh(z).

5.8 Funções Hiperbólicas Complexas Inversas

Function: gsl_complex gsl_complex_arcsinh (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco seno hiperbólico complexo do número complexo z, \arcsinh(z). O corte de ramo está sobre o eixo imaginário, abaixo de -i e acima de i.

Function: gsl_complex gsl_complex_arccosh (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco cosseno hiperbólico complexo do número complexo z, \arccosh(z). O ramo de corte está sobre o eixo real, menor que 1. Note que nesse caso usamo a raíz quadrada negativa na fórmula 4.6.21 de Abramowitz & Stegun fornecendo \arccosh(z)=\log(z-\sqrt{z^2-1}).

Function: gsl_complex gsl_complex_arccosh_real (double z)

Essa função retorna arco cosseno hiperbólico complexo do número real z, \arccosh(z).

Function: gsl_complex gsl_complex_arctanh (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco tangente hiperbólico complexo do número complexo z, \arctanh(z). O corte de ramo está sobre o eixo real, menor que -1 e maior que 1.

Function: gsl_complex gsl_complex_arctanh_real (double z)

Essa função retorna o arco tangente hiperbólico complexo do número real z, \arctanh(z).

Function: gsl_complex gsl_complex_arcsech (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco secante hiperbólico complexo do número complexo z, \arcsech(z) = \arccosh(1/z).

Function: gsl_complex gsl_complex_arccsch (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco cossecante hiperbólico complexo do número complexo z, \arccsch(z) = \arcsin(1/z).

Function: gsl_complex gsl_complex_arccoth (gsl_complex z)

Essa função retorna o arco tangente hiperbólico do número complexo z, \arccoth(z) = \arctanh(1/z).

5.9 Referências e Leituras Adicionais

As implementações das funções elementares e das funções trigonométricas são baseadas nos seguintes artigos,

• T. E. Hull, Thomas F. Fairgrieve, Ping Tak Peter Tang, “Implementing Complex Elementary Functions Using Exception Handling”, ACM Transactions on Mathematical Software, Volume 20 (1994), pp 215–244, Corrigenda, p553
• T. E. Hull, Thomas F. Fairgrieve, Ping Tak Peter Tang, “Implementing the complex arcsin and arccosine functions using exception handling”, ACM Transactions on Mathematical Software, Volume 23 (1997) pp 299–335

As fórmulas gerais e detalhes dos cortes de ramo podem ser encontrados nos seguinte livros,

• Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, “Circular Functions in Terms of Real and Imaginary Parts”, Fórmulas 4.3.55–58, “Inverse Circular Functions in Terms of Real and Imaginary Parts”, Fórmulas 4.4.37–39, “Hyperbolic Functions in Terms of Real and Imaginary Parts”, Fórmulas 4.5.49–52, “Inverse Hyperbolic Functions—relation to Inverse Circular Functions”, Fórmulas 4.6.14–19.
• Dave Gillespie, Calc Manual, Free Software Foundation, ISBN 1-882114-18-3

Esse documento foi gerado em 23 de Julho de 2013 usando texi2html 5.0.